_{JAVASE基础教程}
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Java语法基础^卷1Java基础语法
^{_补充1IEEE754标准}

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长风
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前言

>(red!)

首先，浮点数和IEEE754标准不是学习Java的必备知识，本节知识完全不了解，也不影响做一名（基本的）Java开发。

学习本节需要有一些计算机常识知识，还涉及到《计算机组成原理》等计算机专业知识。建议没有计算机基础或者学习闲余时间不多的同学，不要浪费时间学习本章节，应该把学习时间花在刀刃上。

以上是劝退，但还是要说一下学习它的必要性：

浮点型，终究是Java当中常见的数据类型，理解它的原理对我们做开发是有一定帮助的，属于纯粹的内功。即便现在不学，以后还是需要回来补的。

最后还是要说，本节内容不影响成为Java开发，也几乎不会作为面试问题，请结合自身情况学习。

十进制和二进制的移位

>(green!)

提到计算机当中数的表示，二进制是跑不掉的，现在做以下约定：

1. 一个数的下标表示它的进制，无下标的数默认就是十进制，比如1、123等等都是十进制的数。

   有下标的数，如10₂ 表示二进制的10，即十进制的数字2。

2. 一个数的上标和正常的数学公式一样，表示它的幂运算，比如10²表示10的2次方，即100。

3. 一般不会出现一个数既有上标也有下标，如有会括号说明它的含义。

除了以上设定外，本文中还会涉及进制转换的问题，如果不会请自行学习一下，或者直接使用Windows程序员计算器转换进制。

在Windows操作系统下，按：”Win + R“，输入”calc“，然后运行，即打开计算器功能：

（Mac也有类似的功能，不知道的百度即可调出来！）

>(red!)

下面看一个推导过程：

12.34 = 1 × 10¹ + 2 × 10⁰ + 3 × 10^-1 + 4 × 10^-2 = 12.34

一个十进制数可以做以上分解，那么对于一个二进制数，可以做以下分解：

101.11₂ = 1 × 2² + 0 × 2¹ + 1 × 2⁰ + 1 × 2^-1 + 1 × 2^-2 = 4 + 0 + 1 + 1/2 + 1/4 = 5.75

上式反过来：

5.75 = 5 + 3/4 = 4 + 1 + 1/2 + 1/4 = 1 × 2² + 0 × 2¹ + 1 × 2⁰ + 1 × 2^-1 + 1 × 2^-2 = 101.11₂

通过上述式子，不难看出：

十进制每高一位（右移一位），就表示将该数乘以10，每低一位（左移一位）就表示该数除以10

二进制每高一位（右移一位），就表示将该数乘以2，每低一位（左移一位）就表示该数除以2

这两个结论虽然不那么起眼，但是对我们而言却是十分重要的，下面我们要用到。

十进制的科学计数法

>(green!)

科学计数法是一种数字的表示方法，普通的数字用科学计数法表示并无多大优势，但是一个极大或者极小的数使用科学计数法来表示就会很有优势。

例如：

0.0000000000000000000000112332 = 1.12332 × 10^-23

112332000000000000000000 = 1.12332 × 10²³

等号右边就是科学计数法的表示形式，即 a * 10ⁿ，在计算机当中经常写为aen或者aEn，其中：

1. |a| >= 1 且 |a| < 10
2. n一定是整数
3. e或E表示乘以10的多少（n）次方

在计算机领域，在计算中存储极大或者极小数时，使用科学计数法有以下优势：

1. 长度显著变短（这很重要，意味着在计算机中可以节省内存空间）
2. 可以直观的比较大小（数量级、精度等等一目了然）

当然十进制的科学计数法，大家早已经十分熟悉，我们今天就推导一下二进制的科学计数法。

二进制的科学计数法

>(green!)

根据十进制的科学计数法推导，如果用科学计数法表示二进制，格式为：

a₂ × 2ⁿ

其中：

1. 基数从原先的10变为2
2. 底数a，变成了一个二进制数
3. |a| >= 1 且 |a| < 2，也就说a应该是(1.xxx)₂的二进制数
4. n是一个整数

例如：

5.75 = 101.11₂ = 1.0111₂ × 2² （右移几位，乘几个2）

0.1875 = 0.0011₂ = 1.1₂ × 2^-3 （左移几位，除以几个2）

明白了二进制的科学计数法表示方式后，浮点数的IEEE754标准表示方式就基本可以理解了。

IEEE754表示的浮点数

>(green!)

IEEE754标准下表示的浮点数，可以简单的理解成二进制的科学计数法表示形式。IEEE754标准，规定了以下主要两种浮点数的表示形式：

1. 单精度浮点数（内存空间占用32位）
2. 双精度浮点数（内存空间占用64位）

下图就是IEEE754表示的浮点数的具体形式（精度不同体现在位数的差别）我们结合二进制的科学计数法表示范式，来说明一下浮点数的三个部分。

对于二进制的科学计数法表示：a₂ × 2ⁿ

IEE754标准浮点数可表示为：

1. 符号位，计算机有符号数中，0表示正数，1表示负数。

2. 阶码，规定为实际指数值（也就是上述式子中的n）加上一个偏移值常量，偏移值为2^m-1 - 1，其中m为该阶码的位长。

   • 阶码就是n + 2^m-1 - 1 这个数的二进制表示。
   • 单精度浮点数的阶码位长是8，即m = 8，偏移值为127
   • 双精度浮点数的阶码位长是11，即m = 11，偏移值为1023
   • 阶码，是通过某个二进制数的科学计数法的，指数位n计算出来的，所以阶码也常常被称为指数位（我也喜欢这么叫）

3. 尾数，用于存储科学计数法中的有效数字（也就是上述式子中的a₂），它是用原码表示的！

   • 尾数常常被称之为小数位，因为它就是a₂的二进制表示，如果长度不够后面补0。
   • 很容易发现 a₂ 总是1.xxx，总是1.开头的。所以IEEE754标准当中，尾数总是默认隐含1.，计算的时候不要忘记这个隐含1.

>(red!)

单精度和双精度浮点数，具有不同的表示方式，主要是位数的差异带来的不同：

单精度浮点数，长度为32位：

• 最高的一位是符号位
• 符号位后面8位是阶码（指数位），偏移值常量是127
• 最后的23位是尾数（小数位）

双精度浮点数，长度为64位：

• 最高一位是符号位
• 符号位后面11位是阶码（指数位），偏移值常量是1023
• 最后的52位是尾数（小数位）

定点数

>(green!)

实际上当你了解了上述浮点数的表示形式后，那么就可以解释一个非常重要的问题了：浮点数为什么叫浮点数？既然有浮动的点数，那么有没有不动的点数？

概念

>(green!)

对于用a₂ × 2ⁿ形式表示的二进制数：

a₂决定了这个数的有效数字是什么，而它的大小（也就是小数点的位置）是由指数位n来决定的。

1. 如果这个n是一个固定的数，也就意味着该数的小数点位置是不变的

   • 这种表示方式的数字就被称之为"定点数"。
   • 定点数的表示中，都会直接约定小数点的位置。

2. 如果这个n不是固定的数，也就意味着该数的小数点位置是可变的

   • 这种表示方式的数字就被称之为"浮点数"。
   • IEEE754标准下表示出来的数字的小数点位置显然是可变的，它是一种浮点数的表示方式。

区别

浮点数和定点数是计算机中数字的两种不同的存储表示方式：

1. 定点数（Fixed-point Number）
2. 浮点数（Floating-point Number）

下面来看一下定点数的表示数值的方式。

定点数如何表示数字？

>(green!)

定点数可以存储小数和整数，由于小数点位置固定不变，所以存储时小数点不进行存储，只需要约定位置即可。

定点数约定小数点位置，可以分为以下三种情况：

1. 纯整数：例如整数100，小数点约定在最低位即可。
2. 纯小数：例如：0.123，小数点约定在最高位即可。
3. 整数 + 小数：例如1.23、12.3，需要指定小数点在某个位置

现在对定点数的表示做以下定义：

假设以机器字长 n 位表示定点数，从右至左，从高位到低位分别为 Xn、Xn-1...X3、X2、X1 其中 Xn是符号位，取值 0 和 1 分别表示正号和负号。

如此，对于任意一个定点数 X = XnXn-1…X2X1，在定点机器中可表示为：

1. 如果 X 表示的是纯小数，那么小数点位于 Xn 与 Xn-1 之间。
2. 如果 X 表示的是纯整数，那么小数点位于 X1 的右边。
3. 如果X表示的是整数 + 小数，那么小数点可以约定在有效数字的任意一位。
4. 最后还需要注意的是，计算机中存储数值都是以补码的形式存储的。

定点数表示纯整数和小数

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纯整数：

对于纯整数100，由于小数点固定在最低位，假定我们以 1 个字节（8 bit）表示，用定点数表示如下：

100 = 0 1100100₂

-53 = 1 1001011₂（补码）

其中，最高位是符号位，小数点约定在最后一位，实际上计算机中的整数就是以定点数形式存储表示的

 

纯小数：

对于纯小数 0.125，由于小数点固定在最高位，同样以 1 个字节（8 bit）表示，用定点数表示如下：

0.125 = 0 0100000₂

 

整数 + 小数：

这种情况下，我们需要先约定小数点的位置

以 1 个字节（8 bit）为例，第一位为符号位，约定之后 5 位表示整数部分，最后 2 位表示小数部分

对于数字 1.5 用定点数表示就是这样：

1.5 = 0 00001 10₂

对于数字 26.5 用定点数表示就是这样：

26.5 = 0 11010 10₂

总结

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以上就是用定点数表示一个小数的过程，其过程可以做以下总结：

1. 在有限的 bit 位数限制下，先约定小数点的位置
2. 整数部分和小数部分，分别转换为二进制表示
3. 两部分二进制组合起来，即是结果

显然使用定点数去表示一个数是非常简单的，但是却并不是没有代价的，例如以下问题：

>(red!)

如上文所说，我们约定第一位为符号位，之后 5 位表示整数部分，最后 2 位表示小数部分后，此时

1. 整数部分的二进制最大值只能是 11111，即十进制的31
2. 小数部分的二进制最大只能表示 0.11，即十进制的 0.75

这样表示的数值很有限，而且因为位数限制，能够表示的小数是离散的，不是连续的！

于是可以做一下总结：

对于有限位数的定点数来说：

1. 小数位越短，表示的数精度就越低，无法表示更多小数点后面的位数，比如2位小数显然表示不了X.00001

   • 同时整数位就越大，表示的数值就越大。

2. 小数位越长，表示的数精度就越大，就能够表示更多小数点后面的位数

   • 同时整数位就越短，能够表示的数值就越小。

如果想表示数的范围更大或者精度越高，可以考虑：

1. 扩大 bit 位数：例如使用 2 个字节、4 个字节，这样整数部分和小数部分宽度增加，表示范围和精度都提升了
2. 改变小数点的位置：小数点向后移动，整个数字范围就会扩大，但是小数部分的精度就会越来越低

由此我们发现，不管如何约定小数点的位置，都会存在以下问题:

• 数值的表示范围有限（小数点越靠左，整个数值范围越小）
• 数值的精度范围有限（小数点越靠右，数值精度越低）

总的来说，如果使用定点数表示小数，不仅数值的范围表示有限，而且其精度也很低。

所以在计算机中，普遍使用定点数表示纯整数，不使用它表示小数，而使用浮点数表示小数。

浮点数具体案例说明

>(green!)

以下案例都以32位单精度浮点数为准（64位和32位只有位数的差距，可以套用）

怎么知道我们手动转换出来的浮点数是否正确呢？为了验证这一点这里提供两种方案：

最简单的，找一个在线转换浮点数和十进制的网站

比如： http://www.styb.cn/cms/ieee_754.php

• 也可以找一个IEEE754标准转换器（百度云自取）

链接：https://pan.baidu.com/s/1nj--X0OY8MopJtExK4v1Ow 提取码：b0tf

正数案例

>(red!)

正数是最常见的情况，比较容易理解。

将十进制整数转换成浮点数

>(green!)

78 = 01001110₂ = 1.00111₂ × 2⁶

分析：

这个数是正数，显然符号位应该是0

二进制科学计数法的指数是6，那么阶码应该是 6 + 127 = 133 = 1000 0101₂（8位）

尾数是最简单的，就是00111，但是单精度浮点数的尾数应该是23位，后面的位要用0补满

最终得到的32位单精度浮点数表示为（分段表示）：

0 -- 1000 0101 -- 00111000000000000000000

将十进制小数转换成浮点数

>(green!)

360.75 = 101101000.11₂ = 1.0110100011₂ × 2⁸

分析：

这个数是正数，显然符号位就是0

二进制科学计数法的指数是8，那么阶码应该是 8 + 127 = 135 = 10000111₂（8位）

尾数就是 0110100011，不满32位，用0补满

最终得到的32位单精度浮点数表示为（分段表示）：

0 -- 1000 0111 -- 01101000110000000000000

将浮点数恢复成十进制数

>(green!)

将下列单精度浮点数表示，恢复成十进制数

0 -- 01111101 -- 10000000000000000000000

分析：

符号位是0，显然是一个正数

阶码是01111101 = 125 ，显然实际的指数是125 - 127 = -2

尾数实际上就是1，加上隐含的1，那么有效数字a就是1.1₂

因此，该浮点数的二进制科学计数法表示形式为：1.1₂ × 2^-2 = 0.011₂ = 0.375

负数案例

>(green!)

负数可能具有一定的理解难度，所以仅给出一个案例。

将十进制负整数转换成浮点数

>(green!)

-16 = -10000₂ = -1.0 × 2⁴（原码表示）

分析：

是一个负数，显然符号位是1

阶码是 4 + 127 = 131 = 10000011₂

尾数是0，全部都是0

最终得到的32位单精度浮点数表示为（分段表示）：

1 -- 1000 0011 -- 00000000000000000000000

总结浮点数表示步骤

>(green!)

虽然我们不知道为什么这么做，但是现在我们已经可以对十进制转换成IEEE754浮点数的步骤做一个总结：

1. 将十进制数值转换为二进制数值。
2. 将二进制数值转换为它的科学记数法表示形式，注意直接使用原码形式（正负数都一样）
3. 确定符号位：如果是正数，符号位为0，如果是负数，符号位为1
4. 计算阶码：将科学计数法的指数值加上偏移值(单精度为127，双进度为1023)，再把这个数转换成8位二进制
5. 计算尾数：忽略有效数字的整数部分1（有效数字整数部分总是1，约定忽略掉），将有效数字的小数部分作为尾数，如果不足位数（单精度23位，双精度52位）则用0在右边补满
6. 这样，前面5步，我们就得到了一个符合IEEE754标准的二进制浮点数表示。

浮点数的精度和表示范围

>(green!)

学到这里，实际上你还有很多问题没有解决，还有很多困惑不明白，但是我们先放下困惑，用现有的知识来解决两个最重要的疑惑：

1. 浮点数的表示范围有多大？
2. 浮点数的精度有限制吗？

为了搞清楚这两个问题，我们需要首先研究一下浮点数的精度问题。

精度

>(green!)

显然，浮点数肯定是有精度的，因为浮点数能够表示的有效数字（尾数）是有限的，超过的部分就无法表示

float的精度

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尾数都是用原码直接表示的，隐含整数位1，不带符号，其中float的尾数是23位

于是：

float的尾数最大值是：111111111111111111111111₂ （23个1），也即是0~2²³

即范围是 0~8388608（十进制数）

这个数是一个比较大的7位数，所以float的有效小数位是6~7位的，其中6位是绝对正确的，7位多数情况正确

而如果直接看有效数字（因为隐含1），则应该是7~8位，其中7位是绝对正确的，8位多数正确

注意以上说的精度都是针对十进制数来的，下面的double也是一样。

double的精度

>(green!)

比个葫芦画个葫芦，double和float差不多的，只不过double的尾数是52位的。

于是：

double的取值范围是0~2⁵² ，即0~4503599627370500

这个数是一个16位数，则有效小数位是15~16，其中15绝对准确，16一般都准确。

如果加上隐含的1，则有效位数是16~17，其中16绝对准确，17一般准确。

表示范围

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尾数位用于决定浮点数的精度，那么指数位（阶码）就用来决定浮点数的表示范围。要想学习这个东西，咱们要先看几个问题和相关概念。

移码

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为什么阶码的计算要加上一个偏移量？

阶码在存储的时候要加上偏移量，恢复的时候还要再减回来，来回折腾有必要吗？答案是肯定的，凡事都有两面性，有利有弊，这么设计的好处是什么呢？

阶码，实际上是二进制科学计数法表示数字的指数，这个指数在正常情况下可正可负。这样的话，当我们比较两个浮点数的大小时，不仅要考虑数值位（尾数）本身的大小和符号，还需要考虑指数的符号然后才能比较大小，逻辑上显然是比较麻烦的。

说到这里，可能有些同学会觉得并没有什么麻烦，-123和124我一眼就能看出谁大谁小，但是不要忘了我们说的比较是计算机比较大小，而不是人类。所以为了更好的比较阶码大小，最理想的情况下，我不希望有负号。

在深入探究这个问题之前，我们可以再探讨一个问题：计算机中存储负数为什么要使用补码而不是原码？

存当然是可以存的，但是如果直接存储负数原码会给计算带来困难。计算机为了设计简单，对于数值的加减运算都是带符号位的，也即减去一个正数相当于加上一个负数如果使用原码直接进行运算，得到的结果可能是不正确的，例如：

1 - 2 = 0000 0001₂ + 1000 0010₂ = 1000 0011₂（原） = -3

以上运算结果显然是荒谬的，但是如果使用补码存储负数，就不会出现这个问题，例如：

1 - 2 = 0000 0001₂ + 1111 1110₂ = 1111 1111₂（补） = 1000 0001₂（原） = -1

综上，使用补码存储负数会让人更难以去计算思考，但是：

1. 对计算机而言，使用补码，能够仅使用加法指令就实现数值的加减运算
2. 就可以简化CPU的指令集，简化CPU设计，提升运算的效率

以上两点，充分说明了我们学习计算机知识要站在计算机的角度，而不是人，这在很多场景中都是适用的。

再回到，我们阶码的问题上。 想一下：如果指数并不是直接存储而是加上一个偏移值，保证它一定是正数是不是就更有利于计算机比较它们的大小了呢？答案是肯定的，指数加上一个偏移值之后，无论指数部分是正是负，都可以转换成非负数。 这样的，将真值映射到正数域的数值（真值在数轴上正向平移一个偏移量），称为移码。

使用移码来比较两个真值的大小，只要高位对齐后逐位比较即可，不用考虑符号位问题。

偏移值

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在明白为什么要有偏移值后，我们还有一个问题：为什么偏移值是2^m-1 - 1而不是2^m-1又或者别的值呢 ？

8位二进制有符号数的取值范围是[-128，127]，也是32位浮点数指数可能的取值范围

8位二进制无符号数的取值范围是[0，255]，也是32位浮点数阶码可能的取值范围

要使指数有符号数[-128，127]，变为阶码的无符号非负数[0，255]需要加上偏移量128，为什么实际却加127呢？

>(red!)

为了解释这一问题，引用一段教材的原文：

"当阶码E为全0且尾数M也为全0时，表示的真值X为零，结合符号位S为0或1，有正零和负零之分。当阶码E全1且尾数M为全0时，表示的真值X为无穷大，结合符号位S为0或1，也有+∞和-∞之分。

这样在32位浮点数表示中，要除去E用全0和全1(255)表示零和无穷大的特殊情况，指数的偏移值不选128(10000000)，而选127(01111111)。对于规格化浮点数，E的范围变为1到254，真正的指数值e则为-126到+127。因此32位浮点数表示的绝对值的范围是10^-38~1038（以10的幂表示）。" ——引自白中英《计算机组成原理》

>(red!)

当然以上一段话，你可以完全不理解。这里要先引入一个不是很新的概念：规格化浮点数。

我们上面提到的浮点数表示方式，实际上指的都是规格化浮点数。而浮点数一共有5种表示形式，如下表所示：

对于以下浮点数表示形式：

注：NaN（Not a Number，非数）是计算机科学中数值数据类型的一类值，表示未定义或不可表示的值。常在浮点数运算中使用，首次引入NaN的是1985年的IEEE 754浮点数标准。

IEEE754浮点数的五种表示方式

浮点数形式	阶码	尾数	描述（m是浮点数的位长）
零	0	0	阶码是0，尾数表示的小数部分也是0，那么这个数是 ±0（正负取决于符号位）
非规格化	0	非0	阶码是0，尾数表示的小数部分非0时，此时有效数字的整数部分为固定值0，这就是浮点数的非规格化表示形式，它用于表示一个非常小非常接近0的数（指数偏移值为2m - 2）
规格化	[1，2m - 2]	任意	阶码不包括全0和全1，尾数表示的小数部分为任意数值，此时有效数字的整数部分为固定值1，这就是浮点数的规格化表示形式，它是浮点数的主要表示形式，日常使用的绝大多数数值都可以用它来表示（指数偏移值为2m - 1）
无穷	2m - 1	0	阶码是2m - 1（全1），尾数表示的小数部分为0，那么这个数是 ±∞（正负取决于符号位）
NaN	2m - 1	非0	阶码是2m - 1（全1），尾数表示的小数部分为非0，那么这个数是NaN（非数）

当你了解上述表格知识后，我们就可以来掰扯掰扯为什么32位规格化浮点数阶码的偏移值是127而不是别的了。

由于没有找到明确的官方解释，这里提供几个猜想的原因：

1. 由于阶码的范围从[0，255]变为了[1，254]，如果偏移值为128的话，那么实际指数范围就是[-127,126]，这样不是不可以。但是而如果偏移值改为127的话，该浮点数就能表示更大的范围。
2. 阶码是127所表示的浮点数取值范围更加对称，比128更合适。
3. 以上两点可以查验表格数据去验证。

>(red!)

当然，以上解释可能都不太完美，也许这只是设计者的一个随手之举。总之无论如何请记住，以下规定：

1. 规格化浮点数阶码的范围是 [1，2^m - 2]，对于单精度浮点数是[1，254]
2. 偏移值是2^m - 1，对于单精度浮点数是127
3. 单精度浮点数float的实际指数范围是[-126,127]

非规格化浮点数

>(green!)

既然提到了规格化浮点数，那这里我们也简单了解一下非规格化浮点数：

一般是某个数字相当接近零时，才需要使用非规格化形式来表示，这时它的阶码是0，尾数为非0

IEEE754标准规定：

非规格化浮点数的指数偏移值，比规格化浮点数的小1，也就是偏移值为2^m - 2

拿单精度浮点数为例，偏移值为126，由于阶码固定为0，所以实际指数固定为-126

非规格化浮点数解决填补了绝对值意义下最小规格数与零的距离，避免了突然式下溢出(abrupt underflow)

下溢出：指当要表示的数据的绝对值小于计算机所能表示的最小绝对值时，出现无法表示数值的情况

关于突然式下溢出，我们在后面还会论述。

实际上，当你学习到这里，对于浮点数的表示范围已经有了认识，接下来我们就以单精度为例，抛砖引玉。

单精度浮点数的各种极值

>(green!)

表格说明：

1. 表格上半部分为负数，下半部分为正数，以0为间隔
2. 表格上方这个数值越小，表格下方这个数值越大（不是绝对值，NaN除外）
3. 为了描述方便，最值指的都是绝对值大小而不是数值本身大小
4. 该表格完全根据上面浮点数表示形式的表格推导而来
5. 单精度浮点数的位数是8位

单精度浮点数的各种极值

浮点数表示形式	符号位	实际指数（阶码）	有效数字 （含隐藏位）	表示数值
负无穷	1	128（255）	小数位是0	-∞
规格化最大值	1	127（254）	2 - 2-23	-(2-2-23) × 2127 = -3.4E+38
规格化最小值	1	-126（1）	1.0	-2-126 = -1.18E-38 (-1.17549435E-38)
非规格化最大值	1	-126（0）	1 - 2-23	-(1-2-23) × 2-126 = -1.18E-38 (-1.17549421E-38)
非规格化最小值	1	-126（0）	2-23	-2-23 × 2-126 = -1.4E-45
负零	1	-127（0）	0	-0.0
正零	0	-127（0）	0	+0.0
非规格化最小值	0	-126（0）	2-23	2-23 × 2-126 = 1.4E-45
非规格化最大值	0	-126（0）	1 - 2-23	(1-2-23) × 2-126 = 1.18E-38 (1.17549421E-38)
规格化最小值	0	-126（1）	1.0	2-126= 1.18E-38 (1.17549435E-38)
规格化最大值	0	127（254）	2 - 2-23	(2-2-23) × 2127 = 3.4E+38
正无穷	0	128（255）	小数位是0	+∞
NaN	0或1	128（255）	小数位非0	非数

注：

• 非规格化最大值和规格化最小值非常接近，但是它们并不是一个值
• E表示十进制科学计数法，即乘以十的多少次方
• 双精度浮点数和单精度浮点数表示方式是一致的，可以类推一下，这里不再给出

最后可能有些同学还会有疑惑：有效数字当中的2^-23是怎么来的呢？

举个例子：

规格化最大值的有效数字是：1.111...1₂（小数点后23个1）

这个数可以转换成：2₂ - 0.000...1₂（小数点后22个0）

稍做转换：2₂ - 1₂ × 2^-23 （转换成了科学计数法）

整体转换成十进制：2 - 1 × 2^-23

规格化浮点数最大值的有效数字为：2 - 2^-23

float的表示范围

>(green!)

当你看到这里，应当已经明白：浮点数的取值范围已经不能够简单的，去使用一个区间描述了，以float为例子：

1. float的规格化形式包含两个区间：[-3.4E+38，-1.18E-38] 和 [1.18E-38，3.4E+38]

   • 规格化形式，无法表示相当接近0的两个区间[0，±1.18E-38)

2. float的非规格化形式也包含两个区间：[-1.18E-38，-1.4E-45] 和 [1.4E-45，1.18E-38]

   • 非规格化形式用于表示相当接近0的数值，但是它仍然有不能表示的区间[0，±1.4E-45)

3. 我们日常使用float几乎只会使用规格化浮点数，所以很多书籍里也会直接指出float的表示范围为：[-3.4E+38，3.4E+38]

   • 现在你已经知道上述说法是具有一定的瑕疵的，但是它在多数情况下是正确的。

当然，double和float的表示形式是一样的，无非位数不同，可以类推一下，这里不再赘述。

小结

>(green!)

以上，我们了解了IEEE754标准下浮点数的表示范围和精度两大问题，这里做一些总结和额外的说明

1. 浮点数集合当中的所有元素都是有序的（NaN除外）

2. 浮点数的零有正负之分，但两者是相等的。但是在实操上有些许差距，比如

   • 1.0 ÷ (+0.0) = +∞
   • 1.0 ÷ (-0.0) = -∞

3. 我们常使用的规格化浮点数不能表示一个很小的，接近0的数，这会产生一些问题

   在使用规格化浮点数的情况下，正数当中的第一小，第二小，第三小的数字分别是：

   • 2^-126
   • ( 1 + 2^-23 ) × 2^-126
   • ( 1 + 2 × 2^-23 ) × 2^-126

   这些数字显然不是连续的，而是间隔2^-126 × 2^-23 = 2^-149，从第一个开始，以后每一个都是

   但是你会发现规格化浮点数的最小值和0的差距不是2^-149，而是2^-126，这个数要大2²³倍

   这样浮点数的区间就不是连续的了：

   规格化表示时，正数往0靠拢，逐个减小2^-149，但是到了最小值后，突然减小了2^-126变成了0

   以上情况，就是我们上面提到的突然式下溢出(abrupt underflow)

4. 为了解决突然式下溢出的问题，IEEE采用了Intel公司力荐的渐进式下溢出(gradual underflow)

   实际上就是在规格化的最小值和0之间，加入了浮点数的非规格化表示

5. 在使用非规格化浮点数的情况下，正数当中的第一小，第二小，第三小的数字分别是：

   • 2^-23 × 2^-126 = 2^-149
   • (2 × 2^-23) × 2^-126
   • (3 × 2^-23) × 2^-126

   这样设计后：

   0到非规格化浮点数最小值的间隔就变成了2^-149，并且非规格浮点数逐个之间的间隔也是2^-149

   而非规格浮点数的最大值为(1-2^-23) × 2^-126，这个数和规格化浮点数的最小值2^-126之间的间隔也是2^-149

我们在这里反复提到了浮点数的间隔问题，它的实质就是：浮点数在数轴上是规格分布的吗？

如果你已经掌握了本节上述的所有内容，那么这个问题不难回答：

• 非规格化浮点数只能表示接近0的特别小的数，在[-1.18E-38，1.18E-38 ]这个区间内数值是连续的

  • 间隔为2^-149
  • 非规格浮点数的阶码是相同的，都是0

• 规格化浮点数在阶码相同的一组数区间内是连续的

  • 但是不同阶码的浮点数之间显然是不连续，而且随着阶码越来越大，数值越来越远离原点（0）

  • 每个阶码区间内连续的间隔越来越小，精度越来越低

    • 阶码为1，数的间隔为2^-149，精度也是
    • 阶码为2，数的间隔就变成了2^-148，精度也降低了

  • 而不同阶码区间的最大值和最小值的间隔以阶码小的为准

    • 阶码为1的最大值和阶码为2的最小值，间隔2^-149

• 显然非规格化数是均匀分布的，精度为2^-149，且自然过渡到规格化数，

• 规格化数不是均匀分布的，规格化数的阶码每加一，精度就减半，但是阶码越大表示的数（绝对值）会更大

无穷大在两头，0与无穷大之间大部分是规格化数，只有非常接近0的少部分是非规格化数。

而且，越是靠近0的地方，数与数之间的间隔越小，到了非规格化数时，间隔是2^-149。

相反，越是往无穷大的地方,数与数之间的间隔越大。

当越过非规格式化最小值时，下溢到0。当越过规格式化最大值时，上溢到无穷大。

>(red!)

这篇文章就进入尾声了，我们再回头看一个问题：为什么偏移值是2^m-1 - 1而不是2^m-1又或者别的值呢 ？

无需长篇大论，思考一下为什么规格化浮点数和非规格化数之间能够平滑过渡？

这实际上和偏移值设置为127也是有关系的，127的偏移值保证了规格化最小值和非规格化最大值的平滑过渡。

后记

>(red!)

坦白来说，这篇文章写到这里已经非常长了，作为IEEE754的入门学习文章它甚至有点过长了。如果你能够学到这里，不得不说你非常有毅力，非常有钻研精神，很不错。

看完IEEE754标准的设计规范，我相信你也会感概它的设计是这么优美，这么巧妙。关于它的一些其它问题，就不在文章中继续啰嗦了，如果感兴趣可以自行学习查找。

这篇文章是花费业余时间书写的，甚至不是连续时间写完的，相信出现错误也完全是可能的，欢迎指正！

最后送大家一段我非常喜欢的话，它节选自物理选修3-1电磁场的前言，

曾经学习的时候既没有特别注意过，也没有真正去理解它，如今做了老师，再回头看不禁感概万千。

各位在编程的道路上也是一样，如果你还有些许不解和疑惑，不要着急，先继续往下学。终会有一天，一切都将豁然开朗。

^{The End}

_{如有发现错误，欢迎联系老师更新！}